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Exercícios Cônicas

Exemplo 1 de Algebra and Trigonometry, 12.1 The Ellipse

Writing the Equation of an Ellipse Centered at the Origin in Standard Form

Problema e solução em inglês, como no livro original.

What is the standard form equation of the ellipse that has vertices $(\pm 8, 0)$ and foci $(\pm 5, 0) ?$

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

Solução
The foci are on the x-axis, so the major axis is the x-axis. Thus, the equation will have the form

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

The vertices are $(\pm 8, 0),$ so $\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 25 = 64 - b^{2} \begin{matrix} \end{matrix} & Substitute for c^{2} and a^{2} . \\ b^{2} = 39 & Solve for b^{2} . \end{array}$ and $a^{2} = 64.$
The foci are $(\pm 5, 0),$ so $c = 5$ and $c^{2} = 25.$
We know that the vertices and foci are related by the equation $c^{2} = a^{2} - b^{2} .$ Solving for $b^{2},$ we have:

$\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} - b^{2} \\ 25 = 64 - b^{2} \begin{matrix} \end{matrix} & Substitute for c^{2} and a^{2} . \\ b^{2} = 39 & Solve for b^{2} . \end{array}$
Now we need only substitute $a^{2} = 64$ and $b^{2} = 39$ into the standard form of the equation. The equation of the ellipse is $\frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{39} = 1.$

Sua vez

O Try It do livro logo depois deste exemplo: mesma ideia, outros números. Só a resposta é dada.

What is the standard form equation of the ellipse that has vertices $(0, \pm 4)$ and foci $(0, \pm \sqrt{15}) ?$

Como foi?

Próximo Writing the Equation of an Ellipse Centered at a Point Other Than the Origin

De Algebra and Trigonometry (1st edition), da OpenStax (Rice University), seção 12.1, sob licença CC BY 4.0. Original em openstax.org. Dividimos a solução em passos; as palavras, os números e as figuras são do livro. A OpenStax não endossa este site.