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Exercícios Sistemas de equações

Exemplo 7 de Algebra and Trigonometry, 11.6 Solving Systems with Gaussian Elimination

Solving a System of Linear Equations Using Matrices

Problema e solução em inglês, como no livro original.

Solve the system of linear equations using matrices.

\begin{matrix} \begin{array}{l} x - y + z = 8 \end{array} \\ 2 x + 3 y - z = −2 \\ 3 x - 2 y - 9 z = 9 \end{matrix}

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

Solução
First, we write the augmented matrix.

$[\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 2 \\ 9 \end{array}]$
Next, we perform row operations to obtain row-echelon form.

$\begin{array}{r} - 2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ 9 \end{array}] & - 3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 12 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ - 15 \end{array}] \end{array}$
The easiest way to obtain a 1 in row 2 of column 1 is to interchange $R_{2}$ and $R_{3} .$

$Interchange R_{2} and R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & −12 & −15 \\ 0 & 5 & −3 & −18 \end{array}]$
Then

$\begin{array}{l} \begin{array}{r} −5 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 57 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 57 \end{array}] & - \frac{1}{57} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 1 \end{array}] \end{array} \end{array}$
The last matrix represents the equivalent system.

$\begin{array}{l} x-y+z=8 \\ y - 12 z = −15 \\ z = 1 \end{array}$
Using back-substitution, we obtain the solution as $(4, −3, 1) .$

Como foi?

AnteriorPerforming Row Operations on a 3×3 Augmented Matrix to Obtain Row-Echelon Form Próximo Solving a Dependent System of Linear Equations Using Matrices

De Algebra and Trigonometry (1st edition), da OpenStax (Rice University), seção 11.6, sob licença CC BY 4.0. Original em openstax.org. Dividimos a solução em passos; as palavras, os números e as figuras são do livro. A OpenStax não endossa este site.