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Exercícios Sistemas de equações

Exemplo 6 de Algebra and Trigonometry, 11.7 Solving Systems with Inverses

Finding the Inverse of a 3 × 3 Matrix

Problema e solução em inglês, como no livro original.

Given the $3 \times 3$ matrix $A,$ find the inverse.

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

Solução
Augment $A$ with the identity matrix, and then begin row operations until the identity matrix replaces $A .$ The matrix on the right will be the inverse of $A .$

$[\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{Interchange R_{2} and R_{1}}{\to} [\begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

$- R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$
$- R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{array}]$
$R_{3} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$
$−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 3 & −2 & 0 \end{array}]$
$−3 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}]$
Thus,

$A^{−1} = B = [\begin{matrix} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{matrix}]$

Sua vez

O Try It do livro logo depois deste exemplo: mesma ideia, outros números. Só a resposta é dada.

Find the inverse of the $3 \times 3$ matrix.

A = [\begin{matrix} 2 & −17 & 11 \\ −1 & 11 & −7 \\ 0 & 3 & −2 \end{matrix}]

Como foi?

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De Algebra and Trigonometry (1st edition), da OpenStax (Rice University), seção 11.7, sob licença CC BY 4.0. Original em openstax.org. Dividimos a solução em passos; as palavras, os números e as figuras são do livro. A OpenStax não endossa este site.