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Exercícios Trigonometria

Exemplo 10 de Algebra and Trigonometry, 10.3 Polar Coordinates

Rewriting a Polar Equation in Cartesian Form

Problema e solução em inglês, como no livro original.

Rewrite the polar equation $r = \frac{3}{1 - 2 \cos θ}$ as a Cartesian equation.

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

Solução
The goal is to eliminate $θ$ and $r,$ and introduce $x$ and $y .$ We clear the fraction, and then use substitution. In order to replace $r$ with $x$ and $y,$ we must use the expression $x^{2} + y^{2} = r^{2} .$
$\begin{matrix} r & = & \frac{3}{1 - 2 \cos θ} \\ r (1 - 2 (\frac{x}{r})) & = & 3 \\ r - 2 x & = & 3 & Use \cos θ = \frac{x}{r} t o eliminate θ \\ r - 2 x & = & 3 \\ r & = & 3 + 2 x & Isolate r \\ r^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Square both sides \\ x^{2} + y^{2} & = & {(3 + 2 x)}^{2} & Use x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}$
The Cartesian equation is $x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} .$ However, to graph it, especially using a graphing calculator or computer program, we want to isolate $y .$

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} \\ y^{2} = {(3 + 2 x)}^{2} - x^{2} \\ y = \pm \sqrt{{(3 + 2 x)}^{2} - x^{2}} \end{array}$
When our entire equation has been changed from $r$ and $θ$ to $x$ and $y,$ we can stop, unless asked to solve for $y$ or simplify. See Figure 13.

Figure 13

The “hour-glass” shape of the graph is called a hyperbola. Hyperbolas have many interesting geometric features and applications, which we will investigate further in Analytic Geometry.

Sua vez

O Try It do livro logo depois deste exemplo: mesma ideia, outros números. Só a resposta é dada.

Rewrite the polar equation $r = 2 \sin θ$ in Cartesian form.

Como foi?

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De Algebra and Trigonometry (1st edition), da OpenStax (Rice University), seção 10.3, sob licença CC BY 4.0. Original em openstax.org. Dividimos a solução em passos; as palavras, os números e as figuras são do livro. A OpenStax não endossa este site.