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Exercícios Trigonometria

Exemplo 10 de Algebra and Trigonometry, 10.5 Polar Form of Complex Numbers

Evaluating an Expression Using De Moivre’s Theorem

Problema e solução em inglês, como no livro original.

Evaluate the expression ${(1 + i)}^{5}$ using De Moivre’s Theorem.

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

Solução
Since De Moivre’s Theorem applies to complex numbers written in polar form, we must first write $(1 + i)$ in polar form. Let us find $r .$

$\begin{array}{l} r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r = \sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}} \\ r = \sqrt{2} \end{array}$
Then we find $θ .$ Using the formula $\tan θ = \frac{y}{x}$ gives
$\begin{array}{l} \tan θ = \frac{1}{1} \\ \tan θ = 1 \\ θ = \frac{π}{4} \end{array}$
Use De Moivre’s Theorem to evaluate the expression.
$\begin{array}{l} {(a + b i)}^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i \sin (n θ)] \\ {(1 + i)}^{5} = {(\sqrt{2})}^{5} [\cos (5 \cdot \frac{π}{4}) + i \sin (5 \cdot \frac{π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4})] \\ {(1 + i)}^{5} = 4 \sqrt{2} [- \frac{\sqrt{2}}{2} + i (- \frac{\sqrt{2}}{2})] \\ {(1 + i)}^{5} = - 4 - 4 i \end{array}$

Como foi?

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De Algebra and Trigonometry (1st edition), da OpenStax (Rice University), seção 10.5, sob licença CC BY 4.0. Original em openstax.org. Dividimos a solução em passos; as palavras, os números e as figuras são do livro. A OpenStax não endossa este site.