Writing an Equivalent Expression Not Containing Powers Greater Than 1

Problema e solução em inglês, como no livro original.

Write an equivalent expression for $\cos^{4} x$ that does not involve any powers of sine or cosine greater than 1.

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

Solução
We will apply the reduction formula for cosine twice.

$\begin{matrix} \cos^{4} x & = & {(\cos^{2} x)}^{2} \\ = & {(\frac{1 + \cos (2 x)}{2})}^{2} & {Substitute reduction formula for cos}^{2} x . \\ = & \frac{1}{4} (1 + 2 \cos (2 x) + \cos^{2} (2 x)) \\ = & \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} (\frac{1 + \cos 2 (2 x)}{2}) & {Substitute reduction formula for cos}^{2} x . \\ = & \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \cos (4 x) \\ = & \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{8} \cos (4 x) \end{matrix}$

Como foi?