Da secante à tangente: a derivada

Diminua a distância entre dois pontos e dê zoom até a curva ficar reta.

De dois pontos a um: a tangente

Interativo

inclinação da secante (média)5.3 m/s

inclinação da tangente (derivada)10.2 m/s

diferença4.9

Curva

Instante t1Distância h entre os dois pontos1Zoom no ponto×1

A matemática, com os seus números

\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{20.4 - 15.1}{1} = 5.3 \;\xrightarrow{\ h \to 0\ }\; 10.2

h(t) = 20t - 4.9t^2 \quad\Rightarrow\quad h'(t) = 20 - 9.8t

Para a bola, a derivada da altura é a velocidade: positiva subindo, zero no topo, negativa descendo.

Experimente

→Diminua h. Veja a inclinação da secante se aproximar da tangente.
→Bola: ache o instante em que a tangente fica horizontal. O que está acontecendo com a bola?
→Dê zoom ×50 em qualquer ponto. Como a curva parece de perto?

Quer saber por que ela se comporta assim?

A aula “Taxas de Variação: Derivadas” explica passo a passo: Como um carro pode ter uma velocidade num único instante?