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Exercícios Sequências, contagem e probabilidade

Exemplo 7 de Algebra and Trigonometry, 13.4 Series and Their Notations

Finding the Sum of an Infinite Geometric Series

Problema e solução em inglês, como no livro original.

Find the sum, if it exists, for the following:

ⓐ $10 + 9 + 8 + 7 + \dots$
ⓑ $248.6 + 99.44 + 39.776 + \dots$
ⓒ $\sum_{k = 1}^{\infty} 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{k - 1}$
ⓓ $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{9} \cdot {(\frac{4}{3})}^{k}$

Resolva no papel primeiro. Depois abra a solução um passo de cada vez e pare assim que conseguir terminar sozinho.

1
Solução
1. ⓐThere is not a constant ratio; the series is not geometric.
2. ⓑ
  There is a constant ratio; the series is geometric. $a_{1} = 248.6$ and $r = \frac{99.44}{248.6} = 0.4,$ so the sum exists. Substitute $a_{1} = 248.6$ and $r = 0.4$ into the formula and simplify to find the sum:
  $\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{248.6}{1 - 0.4} = 414. \bar{3} \end{array}$
3. ⓒ
  The formula is exponential, so the series is geometric with $r = - \frac{1}{3} .$ Find $a_{1}$ by substituting $k = 1$ into the given explicit formula:
  $a_{1} = 4, 374 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1} = 4, 374$
  Substitute $a_{1} = 4, 374$ and $r = - \frac{1}{3}$ into the formula, and simplify to find the sum:
  $\begin{array}{l} S = \frac{a_{1}}{1 - r} \\ S = \frac{4, 374}{1 - (- \frac{1}{3})} = 3, 280.5 \end{array}$
4. ⓓThe formula is exponential, so the series is geometric, but $r > 1.$ The sum does not exist.

Como foi?

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De Algebra and Trigonometry (1st edition), da OpenStax (Rice University), seção 13.4, sob licença CC BY 4.0. Original em openstax.org. Dividimos a solução em passos; as palavras, os números e as figuras são do livro. A OpenStax não endossa este site.