Um gráfico é o retrato de uma regra
Uma regra como “y é o dobro de x, mais um” () transforma cada entrada numa saída. Monte uma tabela e marque cada par como um ponto: x para o lado, y para cima. Essas coordenadasUm par de números (x, y) que localiza um ponto: x passos para o lado, y passos para cima. ficam perfeitamente alinhadas.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Cada vez que x aumenta 1, y aumenta exatamente 2. Uma mudança constante assim sempre desenha uma reta, e é por isso que regras da forma se chamam linearesUma regra cujo gráfico é uma reta: y = mx + b. A saída muda o mesmo tanto a cada passo igual da entrada..
Inclinação: o quão íngreme, em número
A inclinaçãoQuanto y muda para cada 1 que x aumenta: subida dividida pelo avanço. Inclinações positivas sobem para a direita, negativas descem. de uma reta mede o quanto ela é íngreme. Escolha dois pontos quaisquer dela, veja quanto você anda para o lado (o avanço) e quanto sobe (a subida), e divida:
Leia em voz alta: “a inclinação é a variação de y dividida pela variação de x.”
Inclinação
Quanto y muda para cada 1 que x aumenta.
Subida
A variação de y entre os dois pontos (pode ser negativa: uma descida).
Avanço
A variação de x entre os mesmos dois pontos.
Uma reta numa grade com um triângulo de inclinação: um avanço horizontal e a subida vertical que o acompanha. Os controles definem a inclinação m, o valor inicial b e o tamanho do avanço. A subida dividida pelo avanço é sempre m. No modo movimento os eixos viram tempo e posição, e a inclinação é a velocidade.
Reta: y = mx + b
InterativoLeia como
A matemática, com os seus números
Mude o avanço: a subida muda junto, mas a razão entre eles (a inclinação) nunca muda.
Experimente
- →Deixe a reta horizontal. Qual é a inclinação? No modo movimento, o que o objeto está fazendo?
- →Dê uma inclinação negativa. Para que lado a reta se inclina?
- →Dobre o avanço. A inclinação muda?
Numa reta, não importa quais dois pontos você escolhe: triângulo maior, subida maior, mesma razão. É isso que “reta” quer dizer. Uma inclinação positiva sobe para a direita, uma negativa desce, e uma inclinação zero é plana.
Lendo y = mx + b
Toda reta pode ser escrita com dois números, e cada um tem uma função:
- , a inclinação, é a taxa: quanto y muda por unidade de x.
- , o intercepto (coeficiente linear), é o valor inicial: y quando x = 0, onde a reta corta o eixo y.
Exemplo resolvido: a equação da reta que passa por dois pontos
Passo 1 de 4- 1Inclinação primeiro: subida sobre avanço entre os dois pontos.
Na física, inclinação é uma taxa
Eis por que os físicos se importam. Quando os eixos são grandezas físicas, a inclinação tem unidades, unidades de y por unidade de x, e é sempre uma taxa com significado. Mude a simulação para “posição contra tempo”:
posição × tempo
inclinação em m ÷ s = velocidade
velocidade × tempo
inclinação em (m/s) ÷ s = aceleração
tensão × corrente
inclinação em V ÷ A = resistência
Faça uma previsão primeiro
Num gráfico posição–tempo, a reta do carro A é duas vezes mais íngreme que a do carro B. O que isso diz?
Pense um pouco e clique para ver a resposta.
Faça uma previsão primeiro
Num gráfico posição–tempo, a reta do carro A é duas vezes mais íngreme que a do carro B. O que isso diz?
Pense um pouco e clique para ver a resposta.
A velocidade do carro A é o dobro da do carro B: ele percorre o dobro de metros a cada segundo. Uma reta horizontal seria um carro parado, e uma reta descendo é um carro voltando em direção ao ponto de partida.
Resumo
Ideias-chave para lembrar
- Um gráfico marca cada par (entrada, saída). Mudança constante desenha uma reta.
- Inclinação = subida ÷ avanço = . É a mesma entre quaisquer dois pontos da reta.
- Em , m é a taxa e b é o valor inicial.
- Na física, a inclinação tem unidades e é uma taxa: a de posição–tempo é velocidade, a de velocidade–tempo é aceleração.
Teste o que aprendeu
Fontes e leituras
Tudo nesta aula está de acordo com estas referências (em inglês). Todas são gratuitas.