Elevar ao quadrado entorta a reta
Numa reta, y muda o mesmo tanto a cada passo. Eleve a entrada ao quadrado, , e os passos não param de crescer: 0, 1, 4, 9, 16… Os saltos entre eles (1, 3, 5, 7…) aumentam a cada vez, então o gráfico se curva para cima. Essa curva em U é uma parábolaA curva desenhada por qualquer função do 2º grau y = ax² + bx + c: um U simétrico (ou de cabeça para baixo) com um ponto de virada, o vértice..
Ela também é simétrica: , então a metade esquerda espelha a direita. O ponto mais baixo, onde ela faz a volta, se chama vérticeO ponto de virada de uma parábola: o mais baixo se ela abre para cima, o mais alto se abre para baixo..
Três números moldam toda parábola
Toda expressão cuja maior potência é é do segundo grauUma expressão ou equação da forma ax² + bx + c, com a ≠ 0. Também chamada de quadrática.:
- define a forma. Positivo: abre para cima (um vale). Negativo: abre para baixo (um morro). maior: mais fechada.
- é onde ela corta o eixo y (coloque e só sobra c).
- desloca o vértice para os lados. O vértice fica sempre em .
Uma parábola numa grade, com o vértice (ponto de virada) e os pontos onde ela cruza o zero, chamados raízes, marcados. No modo a, b, c os controles mudam os três coeficientes. No modo bola a curva é a altura de uma bola lançada para cima da altura h0 com velocidade v0: uma raiz é o instante em que ela cai, a outra é um tempo negativo sem significado físico.
Molde uma parábola: y = ax² + bx + c
InterativoModo
A matemática, com os seus números
Duas raízes quando b² − 4ac > 0, uma quando é 0, nenhuma quando é negativo.
Experimente
- →Deixe a negativo. O que acontece com a parábola?
- →Mude c até a parábola só encostar no eixo. Quanto vale o discriminante?
- →No modo bola, ponha h₀ = 0. As duas raízes são o lançamento e a queda.
Raízes: onde ela toca o zero
A pergunta mais comum sobre uma equação do 2º grau é: quando ela vale zero? Esses valores de x são as raízesOs valores de x que fazem uma expressão valer zero. No gráfico, onde a curva cruza o eixo x., e uma fórmula as encontra para quaisquer a, b e c (no Brasil, conhecida como fórmula de Bhaskara):
Leia em voz alta: “x é igual a menos b, mais ou menos a raiz de b ao quadrado menos quatro a c, tudo sobre dois a.”
Mais ou menos
Faça duas vezes: uma com +, outra com −. É assim que saem duas raízes.
O discriminante (Δ)
Positivo: duas raízes. Zero: uma (o vértice só encosta). Negativo: nenhuma, porque não existe raiz quadrada de número negativo.
Exemplo resolvido: resolva x² − 2x − 3 = 0
Passo 1 de 5- 1Leia os coeficientes.
Por que uma bola lançada “cai duas vezes”
Lance uma bola para cima de uma altura com velocidade . A gravidade tira 9,8 m/s da velocidade dela a cada segundo, e a altura segue uma equação do 2º grau no tempo:
a é negativo, então a parábola abre para baixo: sobe, vira no alto (o vértice) e desce. Mude a simulação para “bola lançada” e descubra quando ela cai resolvendo . A fórmula dá duas respostas, e uma delas é negativa.
Faça uma previsão primeiro
O que significa a raiz negativa?
Pense um pouco e clique para ver a resposta.
Faça uma previsão primeiro
O que significa a raiz negativa?
Pense um pouco e clique para ver a resposta.
Nada físico. A equação descreve uma bola que sempre esteve voando nessa parábola, e o tempo negativo é quando essa bola teria saído do chão antes de você lançá-la. A sua bola só existe a partir de , então a física fica com a raiz positiva. A matemática dá todas as soluções; a física escolhe as que cabem na situação.
Resumo
Ideias-chave para lembrar
- Uma expressão do 2º grau vira uma parábola no gráfico: simétrica, com um ponto de virada, o vértice.
- a define para onde ela abre e o quão fechada é; c é onde ela corta o eixo y; o vértice fica em .
- Raízes: . O discriminante diz se há 2, 1 ou 0.
- A altura de uma bola lançada é do 2º grau no tempo. Das duas raízes, a física fica com a que faz sentido.
Teste o que aprendeu
Fontes e leituras
Tudo nesta aula está de acordo com estas referências (em inglês). Todas são gratuitas.