Potências e Raízes

Uma potência é multiplicação repetida

Multiplicação é soma repetida: $4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3$ . Uma potência é o degrau seguinte, multiplicação repetida:

\textcolor{#3b82f6}{2}^{\textcolor{#f43f5e}{5}} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

O número grande embaixo é a base; o pequeno no alto é o expoente, e ele conta quantas cópias da base são multiplicadas. Dois expoentes têm nomes próprios, emprestados da geometria: um quadrado de lado 5 tem área $5^2$ (“5 ao quadrado”), e um cubo de lado 5 tem volume $5^3$ (“5 ao cubo”).

Por que o tamanho muda tudo

Potências aparecem sempre que você muda a escala de algo. Deixe cada comprimento de um objeto $k$ vezes maior, e a área dele cresce $k^2$ vezes enquanto o volume cresce $k^3$ vezes. Mexa no fator de escala e conte os quadradinhos e os cubinhos:

Aumente a escala: a lei do quadrado e do cubo

Interativo

lado2

área4

volume8

área ÷ volume0.5

Fator de escala k (o lado)2

A matemática, com os seus números

2^2 = 2 \times 2 = 4, \qquad 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8

Área ÷ volume = k² ÷ k³ = 1/k: quanto maior a coisa, menos superfície ela tem para cada unidade de volume.

Experimente

→Ponha k = 2. Conte os quadradinhos e os cubinhos. Batem com 2² e 2³?
→Em que k o volume fica 27 vezes o original?
→Observe "área ÷ volume" quando k cresce. Por que animais grandes têm dificuldade para se resfriar?

O mesmo fator de escala k, aplicado a um quadrado e a um cubo.

Essa é a lei do quadrado e do cubo, e é por isso que não existem formigas do tamanho de cavalos. O peso de um animal depende do seu volume, mas a força das pernas depende da seção transversal delas, uma área. Aumente uma formiga 100 vezes: o peso cresce $100^3 = 1\,000\,000$ de vezes, a força das pernas só $100^2 = 10\,000$ . Cada perna teria de aguentar 100 vezes mais do que consegue.

Faça uma previsão primeiro

Você dobra o tamanho de um bloco de gelo em forma de cubo. Quanto tempo a mais ele leva para derreter, mais ou menos?

Pense um pouco e clique para ver a resposta.

Ele tem $2^3 = 8$ vezes mais gelo para derreter, mas o calor só entra pela superfície, que é só $2^2 = 4$ vezes maior. Então leva cerca de $8 / 4 = 2$ vezes mais tempo. Coisas grandes esfriam e esquentam devagar, que é exatamente a leitura “área ÷ volume” na simulação.

Três regras que fazem todo o trabalho

Como o expoente só conta cópias, as regras para combinar potências saem da contagem. Escreva tudo por extenso uma vez e você nunca vai precisar decorá-las:

$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^3 \times 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2) = 2^5$	Multiplicar: some os expoentes.
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\frac{2^5}{2^2} = 2^3$	Dividir: subtraia (dois pares se cancelam).
$(a^m)^n = a^{m \times n}$	$(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = 2^6$	Potência de potência: multiplique.

A regra da divisão explica dois fatos de aparência estranha. Divida $2^3$ por ele mesmo: o resultado tem de ser 1, e a regra dá $2^{3-3} = 2^0$ . Então $a^0 = 1$ . Divida $2^2$ por $2^5$ : dá $\frac{1}{2^3}$ , e a regra diz $2^{-3}$ . Um expoente negativo quer dizer “um sobre”:

a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001

Raízes desfazem potências

A raiz quadrada faz a pergunta ao contrário: que número, ao quadrado, dá este? $\sqrt{49} = 7$ porque $7^2 = 49$ . A raiz cúbica desfaz o cubo: $\sqrt[3]{8} = 2$ porque $2^3 = 8$ . Na simulação, o lado é a raiz quadrada da área e a raiz cúbica do volume.

Raízes também são potências. Como $(a^{1/2})^2 = a^{1/2 \times 2} = a^1$ , a potência um meio tem de ser a raiz quadrada:

\sqrt{a} = a^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}

Velocidade depois de cair uma altura h

\textcolor{#f43f5e}{v} = \sqrt{2\,g\,\textcolor{#3b82f6}{h}}

Leia em voz alta: “v é igual à raiz quadrada de dois vezes g vezes h.”

v

Velocidade embaixo· medido em m/s

O quão rápido um objeto solto está depois de cair h metros (sem contar o ar).

g

Gravidade· medido em 9,8 m/s²

Quanto um objeto em queda ganha de velocidade a cada segundo perto da Terra.

h

Altura da queda· medido em m

Quanto ele caiu.

Exemplo resolvido: uma pedra solta de 20 m

Passo 1 de 4

1
Coloque os números dentro da raiz.
$v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 20}$

Resumo

Ideias-chave para lembrar

Uma potência é multiplicação repetida: o expoente conta as cópias da base.
Aumente os comprimentos k vezes e as áreas crescem k², os volumes k³ (a lei do quadrado e do cubo).
Multiplicar potências: some os expoentes. Dividir: subtraia. Potência de potência: multiplique. $a^0 = 1$ , $a^{-n} = 1/a^n$ .
Raízes desfazem potências, e também são potências: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ .

Teste o que aprendeu

Pergunta 1 de 4

Quanto é

3^4

Leia o capítulo completoExponents and Scientific NotationSeção 1.2 de Algebra and Trigonometry, da OpenStax, grátis na nossa biblioteca (em inglês).

Fontes e leituras

Tudo nesta aula está de acordo com estas referências (em inglês). Todas são gratuitas.

Uma potência é multiplicação repetida

Multiplicação é soma repetida: $4 \times 3 = 3 + 3 + 3 + 3$ . Uma potência é o degrau seguinte, multiplicação repetida:

\textcolor{#3b82f6}{2}^{\textcolor{#f43f5e}{5}} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

Por que o tamanho muda tudo

Aumente a escala: a lei do quadrado e do cubo

Interativo

lado2

área4

volume8

área ÷ volume0.5

Fator de escala k (o lado)2

A matemática, com os seus números

2^2 = 2 \times 2 = 4, \qquad 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8

Área ÷ volume = k² ÷ k³ = 1/k: quanto maior a coisa, menos superfície ela tem para cada unidade de volume.

Experimente

→Ponha k = 2. Conte os quadradinhos e os cubinhos. Batem com 2² e 2³?
→Em que k o volume fica 27 vezes o original?
→Observe "área ÷ volume" quando k cresce. Por que animais grandes têm dificuldade para se resfriar?

O mesmo fator de escala k, aplicado a um quadrado e a um cubo.

Faça uma previsão primeiro

Você dobra o tamanho de um bloco de gelo em forma de cubo. Quanto tempo a mais ele leva para derreter, mais ou menos?

Pense um pouco e clique para ver a resposta.

Três regras que fazem todo o trabalho

Como o expoente só conta cópias, as regras para combinar potências saem da contagem. Escreva tudo por extenso uma vez e você nunca vai precisar decorá-las:

$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^3 \times 2^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2) = 2^5$	Multiplicar: some os expoentes.
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\frac{2^5}{2^2} = 2^3$	Dividir: subtraia (dois pares se cancelam).
$(a^m)^n = a^{m \times n}$	$(2^3)^2 = 2^3 \times 2^3 = 2^6$	Potência de potência: multiplique.

a^0 = 1, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001

Raízes desfazem potências

Raízes também são potências. Como $(a^{1/2})^2 = a^{1/2 \times 2} = a^1$ , a potência um meio tem de ser a raiz quadrada:

\sqrt{a} = a^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}

Velocidade depois de cair uma altura h

\textcolor{#f43f5e}{v} = \sqrt{2\,g\,\textcolor{#3b82f6}{h}}

Leia em voz alta: “v é igual à raiz quadrada de dois vezes g vezes h.”

v

Velocidade embaixo· medido em m/s

O quão rápido um objeto solto está depois de cair h metros (sem contar o ar).

g

Gravidade· medido em 9,8 m/s²

Quanto um objeto em queda ganha de velocidade a cada segundo perto da Terra.

h

Altura da queda· medido em m

Quanto ele caiu.

Exemplo resolvido: uma pedra solta de 20 m

Passo 1 de 4

1
Coloque os números dentro da raiz.
$v = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 20}$

Resumo

Ideias-chave para lembrar

Uma potência é multiplicação repetida: o expoente conta as cópias da base.
Aumente os comprimentos k vezes e as áreas crescem k², os volumes k³ (a lei do quadrado e do cubo).
Multiplicar potências: some os expoentes. Dividir: subtraia. Potência de potência: multiplique. $a^0 = 1$ , $a^{-n} = 1/a^n$ .
Raízes desfazem potências, e também são potências: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ .

Teste o que aprendeu

Pergunta 1 de 4

Quanto é

3^4

Leia o capítulo completoExponents and Scientific NotationSeção 1.2 de Algebra and Trigonometry, da OpenStax, grátis na nossa biblioteca (em inglês).

Fontes e leituras

Tudo nesta aula está de acordo com estas referências (em inglês). Todas são gratuitas.

Potências e Raízes

Uma potência é multiplicação repetida

Por que o tamanho muda tudo

Três regras que fazem todo o trabalho

Raízes desfazem potências

Exemplo resolvido: uma pedra solta de 20 m

Resumo

Teste o que aprendeu

Onde a física usa isto

Potências e Raízes

Uma potência é multiplicação repetida

Por que o tamanho muda tudo

Três regras que fazem todo o trabalho

Raízes desfazem potências

Exemplo resolvido: uma pedra solta de 20 m

Resumo

Teste o que aprendeu

Onde a física usa isto